当空间被无数个孔填满——费曼路径积分的直观推导

一个“物理学课堂传说”

很久以前，一门量子力学课上，教授照例讲双缝实验：在时刻 t=0，粒子从源 S发射，穿过屏幕上两个孔（ A₁ 或 A₂）之一，在时刻 t=T 被位于O的探测器探测到。

在标准讲法里，探测到的“概率”不是直接相加，而是先加“振幅”。根据量子力学的叠加原理，到达 O 的总振幅等于两条可能过程的振幅之和：

• 从 S经 A₁ 到的振幅

• 从 S 经 A₂ 到的振幅

这就是双缝干涉的数学核心：不同路径对应的振幅会相加，从而产生干涉。

这一点讲完后，故事的主角出现了——一个很聪明的学生（我们就叫他“费曼”）。

从“双缝”到“多缝”

费曼问：“教授，如果我在屏幕上再钻第三个孔呢？”

教授回答：“那就把三条过程的振幅相加。”

费曼又问：“如果我再钻第四个、第五个孔呢？”

教授终于有点不耐烦：“好吧，聪明人。全班都看得出来：我们就是把所有孔的振幅都加起来。”

为了把这句话说得更精确，我们记粒子从 S 出发，经由第 i 个孔 A_i，再到达 O 的振幅为A(S → A_i → O)。

那么探测器在O处测到粒子的总振幅就是A(detected at O) = Σ_i A(S → A_i → O)

这一步的意义很简单：孔从 2 个变成很多个，只是把“相加的项”从两项变成多项，本质仍是叠加原理。

但费曼还没停。

求和从“单屏”到“多屏”

费曼继续追问：“如果我们再加一块屏，上面也钻一些孔呢？”

教授更烦了，说：“你看不出来吗？你只需要把过程拆成三段：

从源 S 到第一块屏的孔 A_i 再到第二块屏的孔 B_i ，再到探测器 O，然后对所有 i 和 j 求和就行了。”

也就是说，“一块屏多孔”对应的是对 i 求和；“两块屏多孔”对应对 i,j 做二重求和。叠加原理仍然没有变，只是中间可选节点更多了。

到这里，费曼的问题开始逼近关键点。

当所有屏幕“钻满孔”会变成什么？

费曼继续纠缠：“那我再放第三块屏、第四块屏呢？如果我放一块屏，然后在上面钻无穷多个孔，使得这块屏等于不存在，那会怎样？”

教授不耐烦了：“我们往下讲吧，这门课要讲的内容还很多……”

这个故事里教授选择“跳过”，但聪明的读者朋友，你一定已经看出来费曼想干什么了。尤其妙的是那句话：在一块屏上钻出无穷多个孔，屏就等于不存在。

这句话把问题从“离散的孔”推向“连续的空间”：即使 S 到 O 之间什么都没有（只是空间），仍可以把传播理解为一种极限过程——好像空间被无穷多块屏“填满”，每块屏又被无穷多个孔“打穿”。于是粒子从 S 到 O 的振幅就变成：

不是挑一条路，而是把所有可能路径的贡献都加起来。

A(粒子在时间 T 内从 S 到 O) = Σ_paths A(粒子沿某条特定路径从 S 到 O)

这就是路径积分的直觉起点：从“对孔求和”升级为“对路径求和”。

“对所有路径求和”怎么定义？

到这一步，严谨的人会自然紧张：你说“对所有路径求和”，但“路径”是无限多、连续变化的对象，这个“求和”到底怎么定义？

费曼（以及更早的狄拉克思路）采取的策略很经典：先离散化，再取极限。

做法是：

1. 取一条连续路径，用很多段直线去逼近它。

2. 让直线段越来越短、段数越来越多，使逼近趋于精确（段长趋于零）。

你会发现，这和“放很多块屏、屏间距无限小；每块屏上孔无限多”是一回事。它把“对路径的求和”变成了“对很多中间点的积分/求和”，最后再取极限。

一条路径的振幅怎么计算：

用幺正性把小段乘起来

即使“路径的集合”被离散化了，还有一个关键问题：

沿某条特定路径传播的振幅 A(…) 怎么构造？

这里用到量子力学的一个结构：时间演化是幺正的。直观地说，如果你知道粒子在每个无穷小时间步（或无穷小空间段）上的传播振幅，那么一整段路径的振幅可以通过把这些“无穷小段的振幅”连续相乘得到。

也就是说：

• 把一条连续路径切成无穷多小段

• 每小段有一个传播振幅

• 整条路径的振幅就是这些小段振幅的乘积

最后再对“所有可能路径”求和（在极限意义下变成泛函积分），就得到路径积分形式主义的核心表达。

Dirac 的表述：

从时间演化算符到“对路径求和”

前面的故事给出了路径积分的直觉：把所有可能路径的振幅加起来。费曼的路径积分不仅重构了量子力学，更成为了现代量子场论（QFT）的两大基石之一。

要让它成为可计算的理论，还需要一个更硬的起点。据说计算方法是Dirac先想出来的。他把“振幅”和“作用量”之间的关系提了出来，并且这关系可以从量子力学最标准的时间演化形式出发系统推导。

（1）传播振幅的起点：时间演化算符

在量子力学里，粒子从初始位置 q_I 在时间 T 后到达末位置 q_F 的传播振幅（传播子）写成

这里 H 是哈密顿量。这个式子几乎可以视作“量子力学演化”的定义。

这一点很重要：路径积分不是另外一套物理假设，它是同一个时间演化算符的另一种展开方式。

（2）时间切片：把 T切成很多个很小的步长

把总时间 T 切成 N 段，每段 ϵ=T/N

于是 

这样做的结果是：传播子被写成对所有中间位置的多重积分；每一小段只涉及一个“短时间传播核”：

其中 q₀=q_I, q_N=q_F。这就是实现把一条路径积分起来、把所有路径加起来的过程：把一条连续路径变成许多小线段的极限；而“对所有路径求和”变成了“对所有中间点积分”。

（3）计算无穷小的时间核

接下来关键是计算短时间振幅 

（4）与统计物理的关联

在大多数情况下，我们关心的是把初态 |I〉与末态 |F〉 都取成基态 |0〉。按惯例，我们把真空到真空的演化振幅记为 Z：

实时间路径积分

更进一步，在有限温度量子统计中，配分函数 Z(β)=Tre^-βH也可写成 Euclidean 路径积分，其关键在于“取迹”对应 Euclidean 时间方向的周期化：对玻色自由度满足 q(β)=q(0) （费米自由度满足反周期边界条 ψ(β)=-ψ(0)），于是 β 直接等同于 Euclidean 时间圆周的长度。这样一来，量子场论在虚时间下的计算形式，会变得非常像统计物理里计算配分函数的方式。

到这里，我们其实完成了一次很朴素的“极限过渡”：从双缝的两条可能过程出发，逐步把“对离散选项求和”推到“对连续路径求和”。技术上，它并没有另起炉灶，仍从最标准的时间演化算符出发；直觉上，它只是把空间想象成被越来越密的“中间位置”填满，再把这些中间位置的贡献在极限意义下叠加起来。这样，路径积分既保留了量子叠加的核心，也提供了一种把量子动力学写成“权重求和”的表达方式。

同时也应当看到，“对所有路径求和”这句话之所以能落地，依赖一套明确的规则：离散化、短时传播子的近似计算，以及在需要时通过 Wick 旋转把振荡权重变成更稳定的 Euclidean 权重。正因为这些步骤把形式主义变成了可操作的计算框架，路径积分才能自然连接到传播子、真空振幅 Z，并进一步与统计物理的配分函数结构对应起来。接下来若要继续深入，关键问题就会从“它是什么”转向“怎么用”：在具体体系里如何选取合适的近似、如何处理相互作用项，以及在场论中如何理解测度、算符排序与重整化等更细的技术环节。

参考文献：

Zee, A. (2010). Quantum field theory in a nutshell (2nd ed.). Princeton University Press.